Temas de Física Hoy: Física: Misterios del Tiempo y Teoría de la Relatividad

Albert Einstein dijo que la distinción entre el pasado, el presente y el futuro es sólo una ilusión persistente. ¿Qué significa esto?

El tiempo es un tema que tiene varios aspectos muy interesantes, como por ejemplo la existencia o no de un futuro predeterminado, que a su vez se relaciona con otros temas, como la cuestión de la dicotomía entre el destino y el libre albedrío humano, o la posibilidad de viajar en el tiempo, las cuales son algunas de esas perennes preguntas de la Filosofía que se han debatido y se continuarán debatiendo por largo tiempo. Pero como este no es un blog de filosofía, preferimos tomar otro camino más productivo; el de la física y la ciencia empírica.

Si este tema te resulta demasiado "físico" y te deja "botado" en algunos puntos, entonces, como acostumbramos a hacer en este blog, quizás prefieras ir directamente a algunas de las notas en el siguiente índice improvisado, comenzando con el problema de la Flecha del Tiempo:

Aplicaciones Prácticas: Relojes Atómicos y GPS

El Problema de la Flecha del Tiempo
Segunda Ley de la Termodinámica

Como seres pensantes, somos conscientes de la implacable marcha del tiempo. Por ejemplo, podemos hacer una tortilla con un huevo, pero no podemos volver a convertir la tortilla en huevo. Los vasos que se caen se rompen y no se vuelven a armar. Sobre todo, envejecemos y morimos; no hay retorno a la juventud.

Pero este es un gran misterio ya que no hay nada en la forma de las leyes de la naturaleza a nivel microscópico fundamental que distinga una dirección del tiempo. Aunque por otro lado el comportamiento de los objetos macroscópicos que nos rodean está sujeto a la famosa Segunda Ley de la Termodinámica, según la cual el desorden (medido por la Entropía) siempre aumenta con el tiempo.

La Flecha del Tiempo en sus diferentes aspectos

En Física este es un tema fundamental porque el sentido de la flecha del tiempo, es decir, la diferencia entre pasado, presente y futuro, se relaciona con esa paradoja que existe entre la simetría y reversibilidad del tiempo en la física cuántica (mundo subatómico) versus la irreversibilidad del tiempo a nivel de física clásica, y el hecho de que a nuestro nivel de observación macroscópica el tiempo siempre tiene una clara dirección irreversible, del pasado al futuro, de acuerdo a la Segunda Ley de la Termodinámica (Ley del Incremento de la Entropía) como se explica a continuación.

En la termodinámica clásica la Segunda Ley es normalmente enunciada diciendo que: "En un sistema físico cerrado la cantidad de entropía tiende a incrementarse en el tiempo". Es decir, que la entropía en un sistema cerrado puede mantenerse constante o aumentar, pero no puede disminuir. Matemáticamente: ΔS >= 0 en un sistema cerrado; donde S representa la Entropía del sistema según fue definida por Rudolf Clausius en 1850 -- se dice que Clausius eligió el símbolo "S" para indicar entropía en honor al físico francés Nicolas Sadi-Carnot; un físico e ingeniero mecánico que investigó cómo aumentar la eficiencia de las máquinas de vapor a través del 'Ciclo de Carnot', considerado 'padre de la termodinámica'. La ley de aumento de la entropía entonces sería análoga al odómetro de un choche, donde el kilometraje siempre aumenta cuando el coche está en movimiento, manteniéndose constante cuando el coche está en reposo. Lo cual establece una clara distinción entre los estados físicos pasados y futuros en cuanto a la cantidad de Entropía que contienen.

Históricamente la Segunda Ley de la Termodinámica se estableció a partir de la observación de que el calor transferido (representado por Q) siempre fluye del cuerpo con mayor temperatura (representada por T) al de menor temperatura, de manera espontánea (sin necesidad de hacer trabajo mecánico); pero nunca al revés. Por ejemplo, para transferir calor de un cuerpo con menor temperatura a otro con mayor temperatura, como en el caso de un refrigerador, se requiere trabajo mecánico -- que en la práctica es realizado por el compresor del gas refrigerante. De ahí la fórmula de Clausius para el cambio (diferencial) de la Entropía (S):

dS = dQ/T

Donde T es la Temperatura Absoluta (medida por encima del Cero Absoluto en la escala Kelvin).

Otro ejemplo. Es un hecho físico que si colocamos un cubo de hielo en un ambiente tibio, este va a absorber calor del ambiente, por lo cual siempre se derretirá a medida que transcurre el tiempo. Sin embargo, el proceso inverso donde el cubo pudiera re-congelarse espóntaneamente en dicho ambiente tibio, como si se le diera marcha atrás a 'la película' del proceso físico, eso nunca se ha observado en la naturaleza. La explicación física de esta asimetría es que el proceso de derretido del hielo aumenta la entropía del sistema en su conjunto (hielo + ambiente) y eso es lo que define la flecha del tiempo en este caso. De esta forma mientras que el sistema está evolucionando en un estado de desequilibrio, la entropía está aumentando; hasta que el sistema alcanza un estado de equilibrio térmico, y entonces la entropía se mantiene constante.

Nótese también como en termodinámica clásica la Segunda Ley (incremento de la entropía) es independiente de la Primera Ley (conservación de la energía); es decir que la entropía aumenta aún cuando la energía total se mantiene constante (la energía se conserva).

Entropía: Orden y Desorden en Física
Fórmula de Boltzman

Por otra parte Ludwig Boltzmann en 1877 desubrió que la Entropía en realidad es una medida de cuan desordenado está un sistema físico (y también es una medida inversa de cuánta 'energía libre', capaz de realizar trabajo mecánico, tiene un sistema termodinámico) según la fórmula de Boltzmann de la Física Estadística:

S=k_{\mathrm {B} }\ln W

Donde la Entropía S resulta ser proporcional al Logaritmo Natural de W, que a su vez representa el número de microestados correspondientes al macroestado del gas. Siendo k_B (o simplemente k) la Constante de Boltzmann que relaciona ambas magnitudes.

La fórmula de Boltzmann explica como aquellos estados macroscópicos que parecen desordenados se caracterizan por tener muchas más 'combinaciones' de microestados que los originan, comparados con los estados que parecen más ordenados. Es decir, que hay una relación entre la Entropía y el número de formas diferentes en que se pueden ordenar los átomos y moléculas para producir un estado macroscópico específico en un sistema termodinámico. Un copo de nieve, por ejemplo, con sus moléculas de agua ordenadas en cristales simétricos tiene una entropía más baja que el agua, con su danza caótica de moléculas.

Otro ejemplo. El siguiente gráfico muestra la expansión adiabática de un gas (sin intercambiar calor con el ambiente) comparándola con los ladrillos que caen de un camión, y como el resultado más probable corresponde al estado más desordenado y con mayor entropía.

Expansión de un gas: La Energía se conserva pero la Entropía crece

Segunda Ley de la Termodinámica: Irreversibilidad del Tiempo

Dicha Segunda Ley de la Termodinámica entonces se interpreta diciendo que los sistemas físicos clásicos tienden a desordenarse en forma espontánea, haciendo que su evolución en el tiempo sea irreversible. Incluso a veces esta ley se extrapola a todo el universo (ver gráfica a continuación sobre el tiempo en la Cosmología Física) sugiriendo que la evolución del universo conocido debe ser un proceso irreversible a nivel cosmológico; a lo cual se le llama hipótesis de muerte térmica del universo.

Aunque empíricamente se ha observado que esto no siempre ocurre así en algunos sistemas físicos concretos, lo cual sugiere que la Segunda Ley de la Termodinámica (Ley del Incremento de la Entropía) no es tan general como incialmente se pensó, ni tampoco tan general como la Primera Ley (Ley de Conservación de la Energía). Como ejemplos de procesos o sistemas macroscópicos la que no parecen obedecer la Segunda Ley de la Termodinámica están: el llamado Mecanismo de Turing que se observa en los patrones en la naturaleza y en la biología, en los "sistemas disipativos" en química estudiados por Ilya Prigogine, así como en sistemas "emergentes" que parecen auto-organizarse espontáneamente, etc. Aparte que en la práctica los sistemas reales pocas veces pueden ser considerados como 'cerrados', ni tampoco sabemos si en realidad nuestro universo en su totalidad es un sistema 'cerrado' o 'abierto'.

También la naturaleza estadística (no determinista) de la Segunda Ley de la Termodinámica nos plantea algunos dilemas. Por ejemplo:

(1) El comportamiento ergódico de los sistemas termodinámicos, relacionado con la propiedad de que, con el tiempo suficiente, el sistema toca o incide en todos los puntos en un espacio determinado. Lo cual implica que hay una probabilidad no nula de que el sistema pueda regresar a su condición inicial. En otras palabras, que de existir "irreversibilidad" esta no sería absoluta, sino probabilística.

(2) El problema del Cerebro de Boltzmann, el cual es un 'experimento mental' que argumenta el hecho de que el universo debe haber sido creado como un sistema con muy baja entropía, por lo cual sería más problable que un cerebro completo (con sus propias memorias falsas de haber existido) surgiera espontáneamente por un breve período de tiempo, que la probalidad de que un universo completo como el nuestro surgiera como una fluctuación del vacío; lo cual es uno de los problemas no resueltos de la fisica.

El origen cosmológico de la Flecha del Tiempo desde el Big Bang hasta ahora

No obstante los debates anteriores sobre las implicaciones de la Segunda Ley de la Termodinámica, el hecho de que exista una asimetría entre los estados pasados y futuros a nivel de física clásica es lo que los físicos llaman Flecha del Tiempo (ver nota al final para más información sobre Entropía y Teoría de la Información en la física contemporánea).

Simetría del Tiempo en la Física a Nivel Fundamental
Ecuaciones de Maxwell

La primera sospecha de que hay algo que no cuadra entre la aparente irreversibilidad de la flecha del tiempo macroscópica en la termodinámica clásica y la física a nivel más fundamental aparece en las Ecuaciones de Maxwell del campo electromagnético, establecidas por el físico escocés James Clerk Maxwell. Maxwell 'descubrió' y escribió sus leyes en 1865 como una generalización matemática de otras leyes experimentales anteriores sobre los fenómenos eléctricos y magnéticos, incluyendo la Ley de Gauss (y la Ley de Coulomb) de la electrostática, las Leyes de Oersted y Ampere sobre los circuitos eléctricos y el campo magnético, y la Ley de Faraday sobre la inducción electro-magnética.

Las Ecuaciones de Maxwell conectan los campos eléctrico y magnético describiéndolos como componentes de un único campo electromagnético. Específicamente, las ecuaciones describen cómo un campo eléctrico cambiante crea un campo magnético y cómo un campo magnético cambiante crea a su vez un campo eléctrico. Estas ecuaciones tienen una gran simetría interna en el vacío; cuando se asume que la carga eléctrica, y por tanto la corriente eléctrica, es nula. Aunque también tienen una cierta asimetría, ya que si bien las cargas eléctricas pueden existir aisladamente como positivas o negativas, las ecuaciones niegan la posibilidad de polos magnéticos aislados, es decir, que los polos norte y sur siempre existen en pareja -- no existen monopolos magnéticos; al menos al nivel de la física clásica.

Las ecuaciones del campo electromagnético consisten en un conjunto de cuatro ecuaciones simultáneas que se pueden escribir de varias formas, ya sea en forma diferencial o integral, en función de los vectores de intensidad del campo eléctico (E) y magnético (B), o de otros vectores relacionados (D y H) más el vector (J) que representa la corriente por unidad de area y la densidad de carga eléctrica (ρ). Por ejemplo, las Ecuaciones de Maxwell en forma diferencial se pueden escribir como:

Estas ecuaciones pueden tener muchas soluciones diferentes dependiendo del fenónemo físico específico de que se trate, incluyendo las ondas electromagnéticas en el vacío y la luz, y se pueden resolver utilizando varios métodos matemáticos.

De particular interés son las soluciones de Wheeler-Feynman que resuelven el problema de la autointeracción retrasada de las partículas cargadas aceleradas, es decir, el hecho conocido de que una partícula cargada que experimenta aceleración emite ondas electromagnéticas y pierde energía. Por tanto, la ecuación newtoniana de la partícula ( F = m a ) debe contener una fuerza disipativa (término de amortiguamiento), que tenga en cuenta esta pérdida de energía. Las soluciones de Wheeler-Feynman además demuestran que:

1) Las ecuaciones clásicas del campo electromagnético son invariantes respecto a la inversión del tiempo; reemplazando t por -t en la ecuaciones. Esto significa que no hay ninguna razón aparente para la ruptura de la simetría de inversión temporal que señala una dirección preferente del tiempo.

2) Las soluciones predicen tanto ondas 'avanzadas' como 'retardadas' en el tiempo, lo cual resulta difícil de conjugar con el Principio de Causalidad.

La interpretación más común consiste sencillamente en ignorar las soluciones que no conjugan con el Principio de Causalidad, argumentando que no corresponden a la realidad física porque nunca han sido observadas. Aunque por otro lado, algunos famosos físicos como Paul Dirac han planteado que ignorar soluciones que son matemáticamente válidas no es correcto ya que dichas soluciones podrían estar apuntando a una realidad aún no comprobada en los experimentos -- Dirac por cierto también predijo la existencia de los positrones y las anti-partículas en general, como soluciones matemáticas inesperadas de su ecuación de onda relativista (soluciones con energía negativa); lo cual luego fue ampliamente demostrado empíricamente.

Ecuación de Schrödinger: Interpretación y Simetría T (Inversión del Tiempo)

A nivel cuántico las leyes de la física son simétricas respecto a la inversión del tiempo. Esto quiere decir que el estado físico de un sistema cuántico es invariante cuando se hace la siguiente transfomación matemática T de inversión del tiempo, reemplazando t por -t en la ecuaciones:

T-symmetry o time reversal symmetry:

T:t\mapsto -t.

La invarianza de los estados cuánticos respecto a la inversión del tiempo implica la conservación de la entropía y se puede demostrar en la Ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica.

Solo como ilustración de las ecuaciones de la mecánica cuántica (sin perdernos mucho en la matemática) consideremos la siguiente ecuación de Schrödinger en su forma dependiente del tiempo (*):

i\hbar {\frac {d}{dt}}\vert \Psi (t)\rangle ={\hat {H}}\vert \Psi (t)\rangle

Donde Ψ (letra griega Psi) representa la Función de Onda que describe el estado de la partícula (cuya energía está siendo medida), Ĥ (letra H con acento circunflejo) representa el operador matemático Hamiltoniano definido en mecánica analítica clásica como la suma de la Energía Cinética Total T y la Energía Potencial V (H = T + V), i es la unidad de los números imaginarios, h (cruzada) es la Constante de Planck (dividida por 2π) y t es el tiempo.

El Hamiltoniano a su vez es igual al operador diferencial Laplaciano (segunda derivada parcial respecto a las tres dimensiones del espacio) más la función de Energía Potencial, según la fórmula:

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\right]\Psi (\mathbf {r} ,t)

Donde ∇² es el Laplaciano, m es la masa de la partícula, y V(r,t) es la función de Energía Potencial en coordenadas polares, la cual depende del campo donde la partícula se mueve. Por ejemplo, en el caso del átomo de hidrógeno, V(r) sería una función inversamente proporcional a la distancia r del electrón al centro del núcleo atómico (Ley de Coulomb):

V(r)=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}

Donde Z es el número atómico, e es la carga del electrón (carga elemental), y r es la distancia del electrón al núcleo.

La Ecuación de Schrödinger básicamente nos dice que el estado de la partícula se puede calcular a través de la dimensión del tiempo o las dimensiones del espacio, y que el conocimiento de la Función de Onda en el espacio a su vez nos permite conocer la historia de la partícula en el tiempo. O para decirlo de otra forma, el pasado de la partícula no está totalmente perdido y su futuro no está totalmente indefinido.

Matemáticamente la simetría temporal se demuestra aplicando el operador de inversión del tiempo T a ambos lados de la Ecuación de Schrödinger y demostrando que si ψ(x,t) es una solución de la ecuación, entonces su conjugado en el tiempo invertido ψ*(x,-t) también lo será (asumiendo que el Hamiltoniano H es conmutativo respecto a T).

Y dado que, según la Regla de Max Born, la probabilidad de los estados depende del producto de la Función de Onda por su conjugado (ψψ*), entonces la simetría en la Ecuación de Schrödinger respecto a la inversión del tiempo significa que:

1) La probabilidad de los estados que evolucionarían con un tiempo invertido (del futuro al pasado) sería la misma que la de los estados que evolucionan en tiempo regular (del pasado al futuro).

2) A nivel fundamental es físicamente posible revertir el estado de un sistema de partículas a un estado previo.

3) No hay ninguna razón física aparente para la ruptura de la simetría de inversión temporal que señala una dirección preferente del tiempo.

* Nota sobre las varias formas de escribir la Ecuación de Schrödinger: Además de la forma 'dependiente del tiempo' descrita anteriormente, existe una forma simplificada de escribir la ecuación de Schrödinger llamada 'independiente del tiempo' la cual describe 'ondas estacionarias' de Ψ (como si fueran armónicos o modos normales de vibración de la Función de Onda), los cuales corresponden a los Autovalores y Autovectores (Eigenstates) de los estados cuánticos puros; cuya solución más general entonces sería la superposición de todos los posibles estados. Esta es la ecuación que resuelve el átomo de Hidrógeno y soporta el modelo atómico de los orbitales (que matemáticamente se representan como armónicos esféricos), permitiendo el cálculo de los niveles discretos de energía del átomo (E) según la relación:

\operatorname {\hat {H}} |\Psi \rangle =E|\Psi \rangle

También existe una tercera forma equivalente que utiliza el operador Lagrangiano, en lugar del Hamiltoniano, a la cual se le llama 'Ecuación del Campo de Schrödinger' que se aplica para tratar de resolver el problema de 'muchos cuerpos' así como en la Teoría Cuántica de Campos.

Extrañeza del Tiempo en la Física Cuántica

Incluso la extrañeza del tiempo en mecánica cuántica llega al punto que en ciertos casos tal parece que el tiempo puede fluir 'al revés' según sugiere el experimento de John Wheeler (conocido en inglés como ´delayed choice experiment´ el cual es una variante del experimento clásico de interferencia en la doble rendija que se puede confirmar experimentalmente) donde causa y efecto parecen invertir sus roles (fenómeno llamado retrocausación) ya que decisiones tomadas en el futuro afectarían el resultado de mediciones en el pasado; es decir que el futuro influencia el pasado.

Estas ideas sobre la reversibilidad del tiempo en la mecánica cuántica ya están siendo aplicadas por físicos en varios países para lograr invertir el tiempo en partículas elementales dentro de una computadora cuántica; lo cual sería como una especie de ‘máquina del tiempo' a nivel subatómico.

A pesar de lo extraño y contra intuitivo que lo anterior pueda parecernos, en realidad esto está permitido por el Principio de Incertidumbre entre Tiempo y Energía de Heisenberg expresado matemáticamente en la relación:

ΔT ΔE ≥ ℏ/2

Donde ΔT representa la incertidumbre en la medición del tiempo, ΔE la incertidumbre en la energía y ℏ la constante de Planck "cruzada", es decir, dividida por 2π (ħ=h/2π). El Principio de Incertidumbre entre Tiempo y Energía tiene dos implicaciones:

1) La ley de conservación de energía puede ser violada durante un intervalo de tiempo pequeño. Como si el vacío físico fuera un banco de energía al cual se le puede pedir prestado cierta cantidad, con la cual se pueden producir las llamadas 'partículas virtuales', siempre y cuando esa energía sea devuelta dentro de cierto tiempo.

2) La medición del tiempo se indefine en la medida que tratamos de precisar la energía de los estados cuánticos; o como lo ha dicho un físico teórico: no existe tal cosa como el pasado o el futuro.

El Principio de Incertidumbre de Heisenberg en sus dos aspectos

La incertidumbre en la medición del tiempo en mecánica cuántica puede llegar al punto que el tiempo tal parece detenerse duante su medición, lo cual se puede observar experimentalmente en el llamado Zeno Effect (Efecto Zenón) donde se demuestra cómo un sistema cuántico no cambia mientras está siendo observado. O para decirlo en términos un poco más técnicos: Experimentalmente se puede comprobar que la evolución de un sistema cuántico se suspende cuando está siendo interrogado, lo cual causa el acoplamiento del sistema cuántico con el ambiente clásico. Este efecto suele ser interpretado como un Efecto Observador intrínseco a la mecánica cuántica.

El Principio de Incertidumbre entre Tiempo y Energía es un principio físico cuántico muy bien establecido que por cierto también explica la existencia de la Energía del Vacio o Punto Cero que se demuestra en el Efecto Casimir y en el Efecto Lamb (Lamb Shift) debido la interacción de los átomos con la energía del vacío.

Otra extrañeza del tiempo se puede observar en los Cristales de Tiempo (cristal de espacio-tiempo), los cuales constituyen una nueva fase de la materia que está estrechamente relacionada con los conceptos de energía del vacío (punto cero) y el efecto Casimir dinámico. Los cristales de tiempo son sistemas abiertos no equilibrados donde el patrón del cristal no se repite en el espacio, sino en el tiempo. Por ejemplo, un cristal de tiempo sería como tener un copo de nieve que puede cambiar entre dos configuraciones cristalinas espontáneamente, sin usar o perder energía; a lo cual se se llama 'rompimiento de la simetría de traslación en el tiempo'. Todo esto resulta ser importante en aplicaciones de computación cuántica porque los cristales de tiempo conservan la entropía y permiten el mantenimiento de la coherencia necesario para que las computadoras cuánticas puedan funcionar.

Estos efectos de las fluctuaciones de la energía del vacío son clave en la electrodinámica cuántica, permitiendo la creación y aniquilación de parejas de partículas virtuales en el vacío, representadas en los Diagramas de Feynman, donde curiosamente las antipartículas viajan del futuro al pasado, mientras que las partículas 'normales' viajan del pasado al futuro.

Ejemplo de diagrama de Feynman: Un electrón y un positrón se aniquilan, produciendo un fotón, que se convierte en una pareja quark-antiquark radiando un gluón. Nótese que el positrón y el antiquark se representan viajando del futuro al pasado, mientras que el electrón y el quark viajan del pasado al futuro.

Entanglement en Física Cuántica
Entrelazamiento del Tiempo

El término Entanglement (Entrelazamiento, en español) fue definido por Schrödinger como una especie de estado de 'coherencia' donde las partículas cuánticas entrelazadas (creadas por interacción directa entre partículas subatómicas) se comportan colectivamente como un sistema que se describe con una Función de Onda, donde el cambio en el estado de cualquiera de las partículas afecta el estado de todas las demás, en lugar de comportarse como partículas individuales independientes. En esas condiciones es posible manifiestar ciertos comportamientos extraños, como el comportamiento 'no local' que permite el intercambio instantáneo de 'señales' entre las partículas individuales situadas a grandes distancias. O sea, el fenómeno de la "spooky action at a distance" como le decía Einstein, o la teleportación de los estados cuánticos (teleportation, en inglés) como se le dice en la literatura de ciencia ficción (en Star Trek, por ejemplo).

El estado de Entanglement según Schrödinger no sería permanente y se rompería cuando el sistema cuántico es interrogado durante el proceso de medición (de ahí el llamado Problema de la Medición) o cuando el sistema interactúa con el ambiente clásico que lo hace perder su coherencia (decoherence, en inglés).

El concepto de Entanglement, o más bien las interpretaciones metafísicas que se derivan de él, fueron fuertemente debatidas entre los defensores de la física clásica como Einstein y sus colaboradores por un lado, y los defensores de la nueva física cuántica como Bohr, Schrödinger y Heisenberg por otro, incluyendo también algunas posiciones intermedias como la llamada "nonlocal hidden variables" de David Bohm (variables escondidas no-locales, en español) que trataban de buscar un punto común desde donde se pudieran derivar ambas interpretaciones.

Un ejemplo de estos debates ocurrieron durante la quinta Conferencia Solvay de 1927 donde participaron 29 de los más notables físicos de la época. Por cierto, entre los asistentes a dicha conferencia, 17 fueron o se convirtieron en ganadores del Premio Nobel, incluida Marie Curie, quien es la única persona que ha ganado premios Nobel en dos disciplinas científicas distintas; física y química.

Albert Einstein, posiblemente influenciado por la filosofía de Baruch Spinoza, creía que las leyes físicas debían ser deterministas, por lo cual estaba desencantado con el principio de incertidumbre de Heisenberg, y al parecer le molestaba especialmente el carácter aleatorio (no determinista) de la mecánica cuántica a nivel fundamental. Incluso inventó algunos ingeniosos dichos para criticar la mecánica cuántica que se hicieron populares. Por ejemplo cuando dijo que "la locura es hacer lo mismo una y otra vez y esperar resultados diferentes", para referirse al Problema de la Medición. O cuando famosamente declaró: "Dios no juega a los dados con el Universo". A lo cual Bohr le respondió: "Einstein, deja de decirle a Dios qué hacer".

Conferencia Solvay 1927

Estos debates condujeron a los que se conoce como Paradoja EPR, la cual consiste en un 'experimento mental' propuesto por sus autores Einstein-Podolsky-Rosen en 1935. Los debates teóricos sobre como 'debería' funcionar la Naturaleza a nivel cuántico, así como la aparente incompletitud de nuestras teorías cuánticas según la Paradoja EPR, no pudieron ser resueltos empíricamente hasta que el físico teórico John Stewart Bell en 1964 demostró el teorema de 'no localidad' que lleva su nombre (también llamado Teorema de las Desigualdades de Bell) lo cual luego permitió responder la pregunta a través de los experimentos de Alain Aspect y otros en 1981; donde quedó claro que en efecto la Naturaleza a nivel cuántico es no-local.

Técnicamente el teorema de las Desigualdades de Bell, comprobadas en los experimentos de Alain Aspect y otros, demostraron que la naturaleza a nivel fundamental no puede ser "real" y "local" al mismo tiempo. ¿Qué significa esto? En física, "Real" significa que los objetos tienen propiedades objetivas definidas independientes de su observación: por ejemplo, una manzana puede ser roja incluso cuando nadie está mirando. Por otro lado, "Local" significa que los objetos solo pueden ser influenciados por su entorno y que cualquier influencia no puede viajar más rápido que la luz en el vacío. Entonces, lo que los resultados experimentales sobre la no-localidad nos dicen es que el Universo no puede ser "localmente real". Lo que implica, entre otras cosas, que "Einstein estaba equivocado" con respecto a la mecánica cuántica. Estos experimentos, por cierto, le valieron el Premio Nobel de Física a Alain Aspect, John Clauser y Anton Zellinger en 2022.

Pero si bien los experimentos de Alain Aspect y otros resolvieron el dilema de la no localidad en el espacio, la pregunta hoy en día es si sería posible el entrelazamiento de partículas en el tiempo solamente, es decir, entre partículas que no coexisten en el tiempo, por ejemplo estando una partícula en el futuro y otra en el pasado. Y la respuesta en ese sentido también parece ser que Sí es posible el entrelazamiento en el tiempo como ya se ha demostrado en algunos experimentos.

Teoría Especial de la Relatividad
Relatividad del Tiempo en la Física Clásica

La Teoría Especial de la Relatividad se basa en dos postulados:

1) Las leyes de la física son las mismas y pueden expresarse en su forma más simple en todos los sistemas de referencia inerciales.

2) La velocidad de la luz "c" es una constante, independiente del movimiento relativo de la fuente.

Estos postulados están soportados por una sólida evidencia experimental; incluyendo el famoso experimento de Michelson-Morley sobre el "no arrastre del eter" que demostró que la velocidad de la luz en el vacío es independiente del movimiento de la Tierra alrededor del Sol, es decir, independiente tanto del movimiento de la fuente como del sistema de referencia inercial del observador. Estos aparentemente sencillos postulados tienen grandes implicaciones y consecuencias que significaron un revolucionario cambio de paradigma en la física, ya que en la física clásica de Newton se suponía que el espacio y el tiempo eran absolutos, pero como Einstein observó, tanto el espacio como el tiempo son relativos; lo cual se demuestra en los efectos de la "contracción de la longitud de Lorentz" y la "dilatación del tiempo", y también en la famosa fórmula de la "relación masa-energía": E = mc².

Con respecto al carácter relativo del tiempo, este es un hecho bien conocido en la física derivado de la teoría de la relatividad especial de Einstein, y en esencia significa que depende del sistema de referencia, o sea, que el tiempo se dilata (las manecillas del reloj rotan más lentamente) en un sistema inercial de referencia en movimiento, comparado con otro en reposo, a medida que la velocidad del sistema de referencia se aproxima a la de la luz en el vacío (la cual resulta ser una constante universal y un límite de velocidad independiente del sistema de referencia); con el corolario de que el tiempo se detendría a la velocidad de la luz.

Dilatación del tiempo en un reloj en movimiento

Como también se sabe que el tiempo se dilata por efecto de la gravitación, lo cual se puede obervar en el corrimiento al rojo del espectro de las estrellas cuando pasan cerca de un agujero negro, como ha sido comprobado en el observatorio astronómico ESO (European South Observatory) en Chile, y como también se comprueba en el Efecto Mossbauer observado entre relojes atómicos a diferentes alturas de la tierra -- ver Teoría General de la Relatividad más adelante. O por efecto de la aceleración que, según el Principio de Equivalencia de Einstein, sería equivalente a la gravitación, lo cual conduce a la curiosa paradoja de los gemelos donde el gemelo que queda en la tierra envejece más rápido que su hermano que viaja por el espacio; pero el misterio del tiempo es aún más profundo que eso.

Paradoja de los Gemelos: Dilatación del tiempo por efecto de la gravitación o aceleración

Otra aparente paradoja de la teoría de la relatividad es que resulta imposible afirmar con absoluta certeza si dos eventos ocurrieron al mismo tiempo, o uno antes que otro, si los eventos están separados en el espacio y el observador se mueve con respecto a ellos, a lo cual se le llama Relatividad de la Simultaneidad. Nótese que esto es consecuencia de que la velocidad de la luz en el vacío es una constante independiente del sistema de referencia, por lo que esta observación realmente no es una paradoja, sino un hecho físico que no nos resulta intuitivo dentro del paradigma clásico del tiempo absoluto.

Lo cual no significa que el Principio de la Causalidad ha sido violado. Al contrario, la teoría de la relatividad mantiene el Principio de Causalidad, el cual plantea que si (o cuando) los eventos tienen una relación de causa-efecto, entonces el efecto tiene que ocurrir después de la causa (independiente de la velocidad del observador), lo cual se expresa a través del concepto de 'cono de luz' que representa el conjunto de todos los posibles eventos causales (dentro del cono) y no causales (fuera del cono), ya sean futuros o pasados, desde el punto de vista de un observador local; como función de la velocidad de la luz en el vacío que sería la velocidad límite de la transmisión de información en ese caso.

Cono de Luz: Regiones causales y no-causales del espacio-tiempo desde el punto de vista de un observador

Para más información sobre la Teoría de la Relatividad de Einstein y su generalización para sistemas de referencia no inerciales (acelerados), así como el Principio de Equivalencia y la Teoría del Campo Gravitatorio que se deriva de este principio, por favor pase a la nota sobre Teoría General de la Relatividad: Teoría del Campo Gravitatorio.

El Tiempo como Dimensión Imaginaria

Quizás más interesante aún es el hecho que en las ecuaciones fundamentales de la física, incluyendo la teoría de la gravitación según Einstein (basada en su teoría de la relatividad general) y la teoría cuántica del campo, el tiempo aparece matemáticamente como la cuarta dimensión de un vector en el espacio de los números complejos ( x, y, z, ict ) que también incluye las tres dimensiones espaciales, aunque con la diferencia que el tiempo aparece como una dimensión imaginaria (en el producto "ict" donde "i" es la unidad de los números imaginarios, "c" es la velocidad de la luz y "t" es el tiempo) mientras que las tres dimensiones espaciales ( x, y, z ) aparecen como números reales. Dicho vector de 4 dimensiones (4D) es utilizado para representar la métrica del Espacio de Minkowski en todas la ecuaciones del campo, tanto clásicas como cuánticas.

Una de las más interesantes propiedades matemáticas del Espacio de Minkowski es que, como demostró Henri Poincaré en 1905, al tomar el tiempo como una cuarta coordenada espacio-temporal imaginaria, las transformaciones de Lorentz (que dictan como pasar de un sistema de referencia a otro que se mueve a una velocidad constante respecto al primero) ahora pueden visualizarse como simples rotaciones de una esfera en el espacio de Hilbert; es decir, una esfera euclidiana con cuatro dimensiones de números complejos.

Este hecho no es solo un subterfugio matemático, sino que nos revela una relación física fundamental del espacio-tiempo. Resulta entonces muy interesante considerar que pasaría en un universo (un universo paralelo quizás) donde el tiempo se comportara como una dimensión 'real', y donde uno pudiera desplazarse al futuro o al pasado, similar a como nos desplazamos en el espacio 3D -- ver nota sobre la posibilidad de ¿Viajar en el Tiempo?.

¿Viajar en el Tiempo?

La Teoría de la Relatividad establece que el tiempo puede verse como una 'dimensión imaginaria', que junto a las tres 'dimensiones reales' espaciales, conforman el llamado Espacio de Minkowski; como una entidad matemática única. Pero entonces uno se pregunta, cuál es la diferencia entre una dimensión imaginaria y una real. ¿Acaso bajo ciertas condiciones sería físicamente posible 'moverse' en la dimensión imaginaria del tiempo como si fuera una dimensión real del espacio?

La posibilidad de viajar en el tiempo como si fuera una dimensión espacial es el tema de la interesante película de ciencia ficción Interstellar que fue asesorada por el físico teórico premio Nobel de física Kip Thorne, donde el astronauta al quedar atrapado en un mundo paralelo puede moverse en el tiempo como si fuera otra dimensión espacial y producir varios fenómenos físicos que en otras condiciones hubieran sido considerados 'paranormales'. ¿Pero se trata solamente de una especulación o acaso esto podría ser real?

Y es aquí donde el problema del tiempo se pone interesante, ya que según plantean algunos estudiosos del tema, eso es precisamente lo que ocurre del 'otro lado' de nuestro universo cuando la consciencia (que por cierto también es un fenómeno cuántico) se encuentra libre del filtro tridimensional que representa el cerebro biológico (ver problema mente-cuerpo para más información sobre la correlación entre la consciencia y el cerebro) ya sea por ejemplo cuando la persona está en un estado de meditación profunda, o cuando se encuentra en un trance mediúmnico, o durante el fenómeno clínico de las Experiencias Cercanas a la Muerte (en inglés, NDE). En esos estados alterados de la consciencia el tiempo es percibido de una forma totalmente diferente, como si el tiempo se detuviera en un eterno 'ahora', permitiendo la posibilidad de desplazarse en el tiempo con el pensamiento hacia 'adelante' o hacia 'atrás' para poder ver probabilidades de eventos en el futuro o el pasado.

Pero el misterio del tiempo no termina ahí, porque si de alguna forma es posible observar directamente eventos futuros o pasados, entonces uno se pregunta si tambiėn será posible viajar en el tiempo y 'alterar' dichos eventos al estilo de la película "Back to the Future", y qué sucedería entonces con la llamada paradoja del abuelo que plantea el dilema de qué pasaría si alguien viaja al pasado y mata a su abuelo previniendo así su propia existencia.

Una forma de resolver las paradojas lógicas de viajar en el tiempo es mediante la 'conjetura de autoconsistencia de las lineas de tiempo', que esencialmente establece que puedes viajar al pasado, pero no puedes cambiarlo, es decir, que solo puedes 'observarlo'. Teóricamente esto sería posible a través del concepto de 'múltiples historias', o en términos más familiares, líneas de tiempo paralelas. La idea es muy simple. Cuando salgo de la 'máquina del tiempo', entro en una línea de tiempo diferente. En esa línea de tiempo, puedo hacer lo que quiera, incluso destruir esa máquina del tiempo, sin cambiar nada en la línea de tiempo original de la que vengo. Pero dado que no puedo destruir la máquina del tiempo en la línea de tiempo original, que es la que usé para viajar en el tiempo, no hay paradoja.

La mecánica cuántica ciertamente parece implicar que las 'múltiples historias' que coexisten es posible, al menos si uno se suscribe a la interpretación de "Muchos Mundos" de Hugh Everett, donde una historia puede 'dividirse' en múltiples historias, una para cada resultado posible de la medición, por ejemplo, en una linea de tiempo el gato de Schrödinger puede estar vivo, o muerto en otra.

En este sentido también la actual teoría del Higgs Singlet que es una patícula elemental que puede viajar hacia alante y hacia atrás en el tiempo según el Supersymmetric Standard Model (extensión del Modelo Estándar de la física de partículas elementales que incluye la Supersimetría SUSY) pudiera resolver el dilema haciendo físicamente posible 'observar' el tiempo futuro o pasado sin 'alterarlo'.

El Modelo Estándar de las Partículas y la Supersimetría SUSY

Principio Holográfico: ¿Es el Tiempo algo fundamental en la Física?

Otro misterio sobre el tiempo y el espacio tiene que ver con las ideas actuales de la física teórica alrededor del llamado Principio Holográfico de la Cosmología Física donde el tiempo no parece ser algo fundamental en la física, sino más bien tal parece que el tiempo emerge de alguna entidad física más fundamental como por ejemplo de la información contenida en los estados cuánticos (ver nota al final); y como lo ha expresado el físico teórico Juan Malcadena "esto sugiere que el quantum es lo más fundamental, y el espacio-tiempo emerge de él".

Estas nuevas ideas sobre el espacio-tiempo se basan en las propiedades matemáticas del llamado Espacio anti-de Sitter (adS), donde se ha encontrado que las ecuaciones matemáticas que describen la gravitación (la geometría del espacio-tiempo) son equivalentes a la matemática de la física cuántica pero con una dimensión menos. Lo cual nos hace recordar las propiedades de un holograma, cuya superficie bidimensional plana puede codificar una imagen tridimensional. De forma similar la métrica adS permite codificar las cuatro dimensiones del espacio-tiempo (4D) dentro de la matemática de un sistema cuántico en tres dimensiones (3D). O quizás se necesite comenzar con una teoría de las cuerdas en cinco dimensiones (5D) para poder describir el espacio-tiempo en 4D como si fuera un holograma en la forntera; lo cual ya está siendo investigado.

Universo Holográfico y Teoría de la Información (haz click en la imagen para ampliar)

Los físicos llaman "dualidades" a estas parejas de teorías matemáticas, desarrolladas a partir de Primeros Principios diferentes, pero que no obstante pueden proveer una descripción equivalente de ciertos fenómenos físicos, como los fenómenos cuánticos y la gravitación. Como si fueran dos enfoques o prespectivas aparentemente muy diferentes, pero que de alguna manera son equivalentes porque en el fondo se refieren a un mismo "objeto". Lo cual sugiere que tal vez exista algún principio unificador que aún no se ha descubierto, y por eso estas dualidades son de tanto interés en la física teórica.

Tal es el caso de la Dualidad AdS/CFT, donde AdS se refiere a la geometría del espacio "anti-de Sitter", y CFT se refiere a la "Conformal Field Theory" que es la teoría matemática que lo sostiene. La idea física detrás de la dualidad AdS/CFT es que el espacio-tiempo, y todo lo que hay en él, emerge como un holograma a partir de la información almacenada en los estados cuánticos entrelazados de las partículas. O como famosamente solía decir el célebre físico americano John Archibald Wheeler: "it from bit".

Sobre el Principio Holográfico y la dualidad AdS/CFT debe decirse que los fīsicos teóricos esperan que estas novedosas ideas nos ayuden a unificar la teoría de la gravitación cuántica de bucles (Loop Quantum Gravity o LQG) con la Teoría de las Cuerdas (String Theory), que hasta ahora han sido dos desarrollos teóricos independientes, para poder finalmente llegar a una única teoría física que explique todo el universo conocido; la llamada Theory of Everything (TOE) que los físicos han estado buscando desde hace 80 años, cuando se dieron cuenta que la teoría de la gravitación de Einstein (aplicable a los objectos más grandes del cosmos y al espacio-tiempo que conforma al universo como un todo) y la mecánica cuántica (aplicable a los objetos más pequeños del universo como los átomos y las partículas elementales), los dos mayores logros intelectuales de la física hasta ese momento, eran matemáticamente incompatibles.

Nota: Orden, Desorden y Caos

La tendencia al desorden en sistemas físicos que se rigen por las leyes de la termodinámica clásica y el concepto de Entropía explicado anteriormente no debe confundirse con la Teoría del Caos, la cual es una rama de la física-matemática que trata sobre el comportamiento de sistemas complejos que son muy sensibles a las condiciones iniciales.

En otras palabras, el caos es un fenómeno que tiende a ocurrir en sistemas con una dinámica compleja no-lineal, donde un pequeño cambio en las condiciones iniciales puede llegar a estados impredecibles, que no obstante son deterministas (no aleatorios) con ciertos patrones y regularidades bien definidas -- ver Efecto Mariposa según fue definido por el meteorólogo Ed Lorenz en 1972, así como la matemática de los Fractales y Atractores Extraños para más información.

Pero incluso en el caos se puede encontrar orden, es decir, regularidades que son predecibles, como en los fractales, etc. Similarmente, en los fenómenos aleatorios hay regularidades estadísticas que permiten predecir las probabilidades de los eventos. La diferencia está en cuan deterministas pueden ser esas predicciones. Por ejemplo, en la Física Estadística de los procesos estocásticos no hay eventos imposibles como tal, sino solamente muy improbables, y por eso se dice que el desorden debido a la entropía termodinámica es aleatorio; no determinista. Sin embargo en la Teoría del Caos, hay cosas que son físicamente imposibles, y por eso se dice que la Teoría del Caos es determinista.

Nota: Teoría de la Información y Entropía

Una idea central en la definición de Información es que el "valor noticioso" de un mensaje depende de cuan 'sorpresivo' o 'impredecible' sea dicho mensaje. O sea, que si un evento es muy probable o predecible, su ocurrencia no sería sorpresiva (y en general sería un evento aburrido) por lo cual la comunicación de dicho evento aportaría poca información -- por ejemplo el conocimiento de que cierto número no ganará la lotería. Por otro lado, si el evento es improbable que ocurra (o impredecible) entonces la noticia de su ocurrencia tendría gran valor informativo -- por ejemplo el conocimiento de que cierto número ganará la lotería es una información muy extraordinaria.

La Teoría de la Información es una formalización matemática de estas ideas sobre la cuantificación de la información, donde por ejemplo se demuesta que la máxima cantidad de información que se puede transmitir en un canal de comunicación, o almacenar en un sistema estocástico en general, se puede describir a través del concepto de Entropía según la fórmula de Boltzmann explicada anteriormente y el Teorema de Shannon; por lo cual es común en la literatura utilizar la palabra entropía como sinónimo de cantidad de información.

Claude Shannon en su libro The Mathematical Theory of Communication (1948) demuestra varios importantes teoremas sobre la información, como por ejemplo: (1) El Teorema de la Capacidad de un Canal de Comunicación con un ancho de banda definido, pero que tiene ruido blanco gausiano aditivo; (2) El Teorema del Muestro junto con Harry Nyquist (llamado teorema Nyquist–Shannon) para un Canal analógico-digital; (3) El Teorema de la Entropía del Canal, o sea, la máxima cantidad de información (H) que se puede extraer en un espacio de mensajes equiprobables (M), la cual está dada por la siguiente fórmula del logaritmo (base b):

H=\log _{b}|M|\ ,

Donde "|M|" es la "cardinalidad" del conjunto de mensajes (número de elementos), la "H" se interpreta como el promedio de la información que se puede tomar del espacio de mensaje, y la base "b" del logaritmo depende de las unidades escogidas para medir la cantidad de información. Nótese que cuando se escoge el logaritmo natural (con base e) la fórmula de Shannon coincide con la formula de la entropía de Boltzman-Clausius en la física estadística.

La conclusión de todo esto es que la Entropía y la Información parecen estar relacionadas de una forma fundamental, de manera similar a como se relacionan la electricidad y el magnetismo en la teoría del campo electromagnético, o el espacio y el tiempo en la teoría de la relatividad. Por eso a veces se utiliza el término "infoentropía", de manera similar al "electromagnetismo" o al "espaciotiempo". Una forma de ver esta relación fundamental entre entropía e información es considerar que pasa con la entropía cuando se transmite información. Por ejemplo, por qué una llamada telefónica siempre va a tener un costo en entropía.

Interesantemente además en Física Estadística (tanto clásica como cuántica) hay un teorema matemático llamado Teorema de Liouville que demuesta que existe una especie de 'ley de conservación de la información', es decir, que la información en un sistema físico nunca puede ser destruída, aunque sí puede ser "scrambled" o revuelta de muchas formas, y que como explica el profesor Susskind sería la ley cero de la física estadística de la cual se derivan otras leyes de conservación en la física; lo cual puede tener otras implicaciones cuando se considera que la consciencia es un sistema de información cuántica --pero eso es otro tema.

Nota: Teoría General de la Relatividad
El Campo Gravitatorio como Curvatura del Espacio-Tiempo

La Teoría Especial de la Relatividad que discutimos anteriormente, aplicable entre sistemas de referencia inerciales (que se mueven a una velocidad relativa constante entre ellos) se generaliza a sistemas de referencia no inerciales (acelerados) y al campo gravitatorio como un todo, basándose en el Principio de Equivalencia entre la la masa inercial y la masa gravitacional, y la observación de Einstein de que la 'fuerza gravitacional' que se experimenta localmente cerca de un cuerpo masivo (como la Tierra) es igual a la pseudo-fuerza observada en un sistema de referencia no-inercial (acelerado). Por ejemplo la fuerza de inercia que siente un observador en un automovil que frena de pronto, o en una nave espacial que se acelera, o en el caso de un observador dentro de un ascensor en caída libre; es equivalente a una fuerza gravitacional observada localmente.

Principio de Equivalencia entre Masa Gravitacional y Masa Inercial

En esencia el Principio de Equivalencia dice que no existen experimentos físicos que permitan distinguir entre los efectos de la gravedad y los efectos de la gravitación. En otras palabras: "la gravedad y la aceleración son la misma cosa". Y como consecuencia de ello el espacio-tiempo no puede ser plano, sino "curvado", es decir, que debe tener una geometría no-euclidiana que es función de la masa y la aceleración de los cuerpos que se mueven en dicho espacio-tiempo.

Técnicamente, el Principio de Equivalencia tiene dos formas de enunciarse; la forma fuerte y la débil. El Principio Fuerte de Equivalencia establece que todas las leyes de la naturaleza son las mismas en un campo gravitacional estático uniforme y en el marco de referencia acelerado equivalente. Mientras que el Principio Débil de Equivalencia establece que todas las leyes del movimiento para partículas en caída libre son las mismas que en un sistema de referencia no acelerado. O sea, que cuando los cuerpos caen libremente, lo hacen independientemente de sus masas inerciales; como fue demostrado por Galileo, Huygens, Newton, etc. El Principio Débil de Equivalencia resulta ser clave para la Teoría del Campo Gravitatorio de Einstein.

Históricamente el postulado del Principio de Equivalencia posiblemente fue influenciado por el llamado Principio de Mach, el cual era una conjutera filosófica sobre como las leyes de inercia locales eran determinadas por la cantidad y distribución de masa en el universo.

Principio de Equivalencia entre Masa Inercial y Gravitacional

Estas observaciones son el fundamento físico para establecer las Ecuaciones del Campo Gravitatorio, las cuales consisten en ecuaciones tensoriales que modelan el campo gravitatorio como una curvatura del continuo espacio-tiempo bajo la acción de la masa-energía (que son equivalentes según la famosa relación E = mc²) lo que a su vez causa la curvatura de las lineas geodésicas (distancia mínima entre dos puntos) así como las trayectorias de los cuerpos que se mueven en dicho espacio-tiempo.

Según Einstein, la gravedad no es una fuerza, sino una propiedad del espacio-tiempo que determina el movimiento de los cuerpos masivos. En otras palabras, el espacio-tiempo curvado le informa a la materia como moverse, y la materia en movimiento a su vez le informa al espacio-tiempo como curvarse.

De esta forma la 'fuerza de gravedad' descrita hasta ese momento por la 'Ley de Gravitación Universal' de Newton, ahora debía ser reemplazada por un 'campo gravitatorio', descrito por un conjunto de ecuaciones que describan dicho campo. Como nota histórica, las ecuaciones del campo gravitatorio fueron inicialmente propuestas por Albert Einsten en Noviembre de 1915, aunque casi al mismo tiempo el también famoso físico-matemático David Hilbert publicó una derivación axiomática de las ecuaciones del campo gravitatorio, pero acreditando a Eisntein como su originador. De ahí que algunos se refieran a las ecuaciones del campo gravitatorio como las ecuaciones de Einstein-Hilbert -- ver a continuación.

Ecuaciones Tensoriales del Campo Gravitatorio

Como ilustración del formalismo matemático tensorial de la geometría diferencial (sin perdernos en la matemática) la ecuación del campo gravitatorio se escribe de la siguiente forma; asumiendo que Lambda es nula (ver nota sobre la Constante Cosmológica más adelante):

Donde Gαβ representa el Tensor de Curvatura del Espacio-Tiempo, también llamado Tensor de Einstein, el cual resulta ser proporcional al tensor Tαβ de la Masa-Energía o Momentum. Nótese como la constante de proporcionalidad incluye a la Constante de Gravitación Universal de Newton G (constante escalar) y a la velocidad de la luz en vacío c. A su vez el Tensor de Curvatura Gαβ es por definición igual al Tensor de Ricci Rαβ (que representa la magnitud de la curvatura de un espacio multidimesional con relación a un Espacio Euclidiano plano) menos 1/2 por el Tensor de Riemann (curvatura escalar de Riemann R por el tensor de la métrica g) según se define en geometría análitica diferencial:

G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}Rg_{\mu \nu },

Estas ecuaciones básicamente nos dicen que el espacio-tiempo que conforma el universo es 'maleable', como si fuera un 'tejido elástico' que se deforma bajo la acción de la masa y la energía, lo cual determina las trayectorias (distancias y tiempos) del movimiento de los cuerpos en dicho campo. Un ejemplo de esta relación entre la curvatura del espacio-tiempo y el movimiento de la materia se muestra en la imagen de la luna rotando alrededor de la tierra a continuación -- la imagen es una representación bidimensional simplificada de un fenómeno que en realidad ocurre en cuatro dimensiones (3D del espacio + 1D del tiempo) pero de todas formas sirve para ilustrar el fenómeno de la curvatura espacio-tiempo.

El Campo Gravitatorio visto como curvatura del Espacio-Tiempo

Nótese además que las relaciones anteriores en realidad representan ecuaciones diferenciales tensoriales, donde los tensores se pueden representar como matrices 4 x 4 en un espacio de Minkowski, es decir, en un espacio de cuatro dimensiones (3D del espacio + 1D del tiempo) que representa la geometría del espacio-tiempo -- ver sección sobre 'El Tiempo como Dimensión Imaginaria' para más información sobre el Espacio de Minkowski.

El hecho de que las ecuaciones del campo gravitatorio se representen con tensores, o matrices 4 x 4, significa que en realidad tenemos 16 ecuaciones diferenciales no-lineales interdependientes acopladas, y a medida que los objetos se mueven y se aceleran a través del espacio-tiempo, la energía-momentum cambia, y también cambia la curvatura espacial. Sin embargo, estas "16 ecuaciones" no son del todo únicas. En primer lugar, el tensor de Einstein es simétrico, lo que significa que solo existen 10 ecuaciones únicas. Además, hay cuatro relaciones que unen la curvatura de estas diferentes dimensiones: las Identidades de Bianchi. Por lo cual de las 10 ecuaciones únicas restantes, solo 6 son independientes.

Y aunque lo anterior simplifica un tanto el problema matemático, por otra parte el problema se complica al considerar que las ecuaciones de Einstein del campo gravitatorio no son lineales y por tanto no se puede aplicar el Principio de Superposición para encontrar las soluciones; tal y como se aplica para resolver las Ecuaciones de Maxwell del campo electromagnético o la Ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica. Y por esa razón ni siquiera el 'problema de los dos cuerpos' puede ser resuelto exactamente, es decir, analíticamente.

Constante Cosmológica de Einstein

Einstein además creía que el universo 'debería' ser estacionario, por lo cual añadió un término de expansión para compensar la tendencia a la compresión causada por la fuerza de gravitación. Ese término depende de una supuesta constante universal que él llamó Constante Cosmológica; representada en las ecuaciones por la letra griega Lambda mayúscula (Λ). Por lo cual las ecuaciones del campo en cosmología física, aplicadas al universo como un todo, donde T es prácticamente constante (el gradiente de T es nulo) o su valor es nulo en el vacío, se escriben de la siguiente forma (nótese la Constante Cosmológica Lambda entre paréntesis):

Pero luego que Edwin Hubble descubrió experimentalmente el corrimiento al rojo del espectro de las galaxias, lo cual implica que las galaxias se están alejando unas de otras, y Friedmann y Lemaitre resolvieron las ecuaciones del campo gravitatorio para un universo en expansión, lo cual condujo a la teoría del Big Bang, Einstein reconoció su error sobre la suposición a-priori del universo estacionario, y de hecho se refirió a su Constante Cosmológica como el "mayor error" ("biggest blunder", en inglés) que él había cometido en su fructífera carrera.

No obstante la Constante Cosmológica continúa siendo utilizada en cosmología física para de alguna forma describir la expansión "acelerada" del universo. Sin embargo la Constante Cosmológica siempre ha sido un dolor de cabeza para los cosmólogos porque las predicciones de su valor hechas por la física de partículas difieren de las observaciones reales en 120 órdenes de magnitud. Por eso la Constante Cosmológica ha sido descrita como "la peor predicción en la historia de la física".

Aproximación Clásica: Masa Relativista y Factor de Lorentz

Lo anterior es un excelente ejemplo de como se aplica el método científico en la física, desarrollando nuevas y mejores teorías que suplantan a las viejas teorías luego de ser comprobadas experimentalmente (quedando las viejas teorías como casos particulares de la nuevas), lo cual permite el avance del conocimiento científico.

En el caso específico de la Teoría del Campo Gravitatorio vemos que los nuevos fenómenos que la teoría explica o predice son observables cuando la velocidad o la masa (o sea la energía relativista de los cuerpos dada por la relación E = mc²) es suficientemente grande. Ya sea porque la masa en reposo de los cuerpos es un valor muy grande o porque la velocidad es cercana a la de la luz. Esto se debe a que la masa relativista M de un cuerpo en movimiento depende de su masa en reposo m y de su velocidad v según la relación:

$M = m/\sqrt{1 - v^2/c^2}$

Donde c es la velocidad de la luz en el vacío, la cual es una constante física fundamental. Al factor de proporcionalidad entre la masa relativista M y la masa en reposo m, expresado por el inverso de la raíz cuadrada en la fórmula anterior, se le llama Factor de Lorentz, y es el mismo que aparece en las ecuaciones de la relatividad; ya sea en la fórmula de la 'contracción de la longitud de Lorentz' o en la 'dilatación del tiempo'.

La relación anterior muestra que para los cuerpos que viajan a velocidades pequeñas, comparadas con la de la luz en el vacío, la masa relativista es prácticamente igual a la masa en reposo; lo cual significa que tales efectos relativistas dejan de ser observables en el límite clásico (no-relativista). Por otro lado, nótese como en el límite cuando v tiende a c, la masa relativista M tiende a infinito para los cuerpos con masa en reposo m no nula.

El corolario de esta relación es que solo las partículas con masa en reposo nula (como los fotones y los gluones) pueden viajar a la velocidad de la luz en el vacío -- Para más información sobre las partículas elementales y sus masas, ver tema: Modelo Estándar.

Sola una aclaración más sobre el concepto de 'velocidad de la luz en el vacío', comparada con la 'velocidad de la luz en un medio' que no sea el vacío, lo cual a veces no se explica bien en los textos de física general. Cuando en física se habla de la velocidad de la luz como una 'constante universal', representada por la letra "c", que se interpreta como el límite fundamental de velocidad del movimiento de las partículas, o la velocidad de las ondas electromagnéticas en el vacío, o el límite de la velocidad de transmisión de la información, el término se refiere a la 'velocidad de la luz en el vacío'; cuyo valor experimental es 299,792,458 m/s (aproximadamente 3×10⁸ m/s). Sin embrago, la velocidad de la luz en un medio físico específico, ya sea un sólido o un líquido o en cualquier otro estado de la materia, puede ser menor que la velocidad de la luz en el vacío, por lo cual es físicamente posible que ciertas partículas se muevan a una velocidad que sea "mayor que la velocidad de la luz en dicho medio", aunque dicha velocidad nunca sea mayor que la de la luz en el vacío, y esto produce otros interesantes fenómenos como la radiación de Cherenkov, etc.

Teoría Clásica de la Gravitación de Newton

Algo muy interesante sobre las Ecuaciones del Campo Gravitatorio de Einstein es que estas incluyen y explican la Teoría Clásica de la Gravitación Universal de Newton como el límite no-relativista cuando las velocidades de los cuerpos son pequeñas comparadas con la de la luz en el vacío. Y por eso la Teoría de la Gravitación de Newton basada en ecuaciones diferenciales lineales aún hoy se utiliza para calcular los movimientos planetarios (Leyes de Kepler), así como para calcular las trayectorias de cometas, cohetes, satélites, etc. ya que matemáticamente son mucho más sencillas de resolver que las ecuaciones tensoriales del campo gravitatorio.

De hecho, las Ecuaciones del Campo Gravitatorio son matemáticamente tan complejas que ni siquiera el 'problema de los dos cuerpos' puede ser resuelto exactamente, es decir, analíticamente. Como ha dicho un profesor de matemáticas: "La mayoría de la ecuaciones diferenciales de la física no pueden ser resueltas, y las pocas que sí pueden ser resueltas, no pueden ser resueltas por nadie". O como el propio Einstein solía decir sobre los modelos matemáticos de la física: "En la medida en que las leyes de las matemáticas se refieren a la realidad, no son certeras; y en la medida en que son certeras, no se refieren a la realidad". No obstante, siempre es posible hacer aproximaciones a las ecuaciones y crear modelos simplificados que se puedan resolver utilizando computadoras y métodos numéricos, que permitan hacer predicciones que se puedan comprobar empíricamente, para de esa forma poder continuar el camino del conocimiento científico.

Solo como comparación de los formalismos matemáticos, las Ecuaciones de Movimiento de Newton (derivadas de su famosa Segunda Ley: F = m a) combinadas con su Ley de Gravitación Universal, se escriben como ecuaciones diferenciales lineales de la siguiente forma (asumiendo que la masa de los cuerpos es constante):

\mathbf {F} =m\,{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} ,

Donde la fuerza de atracción gravitacional F entre dos cuerpos de masa m1 y m2 separados a una distancia r, es proporcial al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado la distancia; siendo G la Constante de Gravitación Univesal de Newton según la fórmula:

F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},

De esta manera las Leyes de Newton permiten resolver el 'problema de los dos cuerpos' que interactúan a traves de la fuerza gravitatoria, y de esa forma calcular las órbitas de planetas, cometas, satélites, etc. Aunque por otro lado siempre existieron anomalías en los movimientos planetarios que la Teoría de la Gravitación de Newton nunca pudo explicar, así como nuevos fenómenos que se describen a continuación.

Además es bueno notar que el 'problema de los tres cuerpos' tampoco puede ser resulto analíticamente de manera general, y según se cuenta, el problema de tratar de predecir los movimientos combinados del Sol, la Tierra y la Luna, fue un dolor de cabeza para Newton que nunca pudo resolver a partir de su teoría de la gravitación.

Nuevas Predicciones de la Teoría del Campo Gravitatorio

a) Las soluciones de las Ecuaciones del Campo Gravitatorio explican algunas anomalías astronómicas que no habían podido ser explicadas por las ecuaciones de Newton, como la precesión del perihelio de Mercurio, debido al aumento de la masa relativista del planeta Mercurio cuando pasa cerca del Sol y se acelera durante su fase de perihelio, causando su precesión, es decir, la rotación de su órbita elíptica -- ver nota anterior sobre la Masa Relativista y el Factor de Lorentz.

Además la Teoría del Campo Gravitatorio predice nuevos fenómenos cósmicos como:

b) El fenómeno de las Lentes Gravitacionales y la curvatura de la luz alrededor de cuerpos celestes de gran masa, como las galaxias o el sol; demostrado en el experimento de Arthur Eddington durante el eclipse solar de 1919.

c) Huecos Negros (black holes), ya sean estáticos (solución de Schwartzchild) o rotacionales (solución de Kerr). La historia de las investigaciones sobre los huecos negros es muy interesante y tiene más de cien años, desde que por primera vez se resolvieron las ecuaciones del campo gravitatorio en 1916 hasta el 2019 cuando por primera vez se logró tomar una imagen de un hueco negro.

Pasando por la "Paradoja de la Información", que es una contradicción en la actual teoría de los huecos negros que parece implicar que la información puede ser destruída dentro del agujero negro, lo cual no debería ser físicamente posible según algunos bien establecidos teoremas de la mecánica cuántica (como el Teorema de Liouville) que demuestran que la información nunca puede ser destuída (aunque sí puede ser "scrambled" o revuelta, siempre que sea posible reconstruirla al menos en principio) -- ver blog sobre Cosmología Física para más información sobre los Huecos Negros.

d) Huecos Blancos (white holes). Un hueco blanco es una región hipotética de espacio-tiempo y una singularidad a la que no se puede ingresar desde el exterior, aunque de él pueden escapar energía-materia, luz e información. En este sentido, es el reverso de un agujero negro. Y aunque aún no hay evidencia empírica de la realidad de los huecos blancos, Stephen Hawking y otros han propuesto la idea de que el Big Bang fue producido por una explosión de un hueco blanco supermasivo en el marco de un vacío de cinco dimensiones. Además algunos cosmólogos especulan que una teoría de los huecos blancos quizás pueda ayudar a resolver la Paradoja de la Información.

e) Agujeros de Gusano (wormholes), técnicamente llamados Puente ER (Einstein–Rosen Bridge), que pudieran conectar puntos distantes en el espacio-tiempo, esencialmente creando un atajo a través del espacio y el tiempo; por lo cual son muy populares en las películas de ciencia ficción como Star Wars y Star Trek. Los Agujeros de Gusano a su vez se relacionan con la Paradoja EPR mencionada anteriomente, en lo que se llama Conjetura ER = EPR, la cual es una conjetura en física que establece que dos partículas entrelazadas (un par llamado EPR o Einstein-Podolsky-Rosen) pueden estar conectadas por un agujero de gusano (ER o puente Einstein-Rosen) y pudieran ser una base para unificar la relatividad general y la mecánica cuántica en una Teoría del Todo.

Conjetura ER = EPR

f) Ondas Gravitacionales. Una característica de los 'campos' en la física es que cuando se 'exitan', es decir cuando absorben energía, ellos emiten ondas. O para decirlo de otra forma, las pertubaciones de los campos físicos siempre se propagan a través de ondas que viajan a una cierta velocidad que depende del 'medio' en el que se propagan; como cuando se lanza una piedra en un tranquilo lago. Por esta razón no debería sorprendernos que también existan ondas gravitacionales. Con la diferencia que en el caso de las ondas gravitacionales, al igual que en las ondas electromagnéticas, el 'medio' es el vacío físico y la velocidad de propagación es la de la luz en el vacío.

Comparando las ondas gravitacionales con las ondas electromagnéticas clásicas, vemos que al igual que existe una relación entre la velocidad (aceleración) de las partículas cargadas y la emisión de ondas electromagnéticas, también debe existir una relación entre la velocidad-aceleración de los cuerpos masivos y la emisión de ondas gravitacionales. Por ejemplo, sobre los campos electromagnéticos, descritos por las ecuaciones de Maxwell mencionadas anteriormente, sabemos que:

1) Una carga eléctrica estática produce un campo electrostático.
2) Una carga eléctrica en movimiento a velocidad constante produce un campo magnetostático.
3) Una carga eléctrica en movimiento acelerado produce un campo electro-magnético, que puede ser auto-sostenido, es decir, que produce ondas electromagnéticas.

De igual forma un cuerpo masivo acelerado debería producir ondas gravitacionales, en dependencia de la magnitud de la masa y la aceleración. Por ejemplo, cuando ocurre una colisión entre dos huecos negros super masivos, deberíamos ser capaces de detectar las ondas gravitacionales producidas por dicha colisión.

Sin embargo, la existencia de ondas gravitacionales se mantuvo como una teoría solamente hasta que fueron detectadas por primera vez en el 2015 en el observatorio LIGO de Estados Unidos en colaboración con el VIRGO de Europa, por cuyo descubrimiento los investigadores recibieron el Premio Nobel de Física de 2017. El LIGO es un interferómetro en forma de L cuyos brazos tienen 4 km de largo, mientras que el VIRGO es un poco más pequeño con brazos de 3 km pero suspendido en el vacío. En este caso las ondas gravitacionales detectadas fueron el resultado de una colisión que ocurrió hace 1.3 miles de millones de años entre dos huecos negros 36 veces más masivos que el sol.

Aplicaciones Prácticas: Relojes Atómicos y GPS

El Sistema de Posicionamiento Global (GPS; en inglés, Global Positioning System) se basa en un conjunto de 24 satélites que orbitan la Tierra, cada uno con un reloj atómico; el cual utiliza una frecuencia del espectro atómico para marcar el tiempo con gran precisión. Estos relojes de los satélites se mueven a 14,000 km/h en órbitas que giran alrededor de la Tierra dos veces al día, y la teoría de la relatividad especial de Einstein nos dice que los relojes que se mueven más rápido marcan la hora más lentamente; unos 7 microsegundos (millonésimas de segundo) por día en el caso de los relojes atómicos en los satélites del GPS.

Pero además hay otro efecto relativista opuesto que también actúa sobre los GPS. Los relojes en órbita están a 20,000 km sobre la Tierra y experimentan una gravedad cuatro veces más débil que la del suelo. La teoría de la relatividad general de Einstein nos dice que la gravedad curva el espacio y el tiempo, lo que da como resultado una tendencia de los relojes en órbita a marcar la hora un poco más rápido mientras más alejados estén de la gravedad de la tierra, unos 45 microsegundos por día en este caso. El resultado neto de ambos efectos es que el tiempo en un reloj satelital GPS avanza más rápido que un reloj en tierra en aproximadamente 38 microsegundos por día.

Por otro lado la órbita de cada satélite se conoce con gran precisión, y calcular la ubicación precisa del receptor es un problema de 'triangulación' (o 'trilateración' para ser más precisos) en la geometría euclidiana. Entonces, para poder lograr una precisión de navegación de 10 metros, el tiempo en todo el sistema GPS completo debe poderse conocer con una incertidumbre menor que 30 nanosegundos, que corresponde al tiempo requerido para que la luz recorra esos 10 metros, y que por cierto es el límite de precisión requerida en el sistema de GPS civil (no militar).

Pero con un posible error sistemático de 38 microsegundos por día en cada satélite, el corrimiento relativista del tiempo marcado por los relojes de los satélites es tan grande que, si no se compensa, causaría errores de navegación que se acumularían a razón de varios kilómetros por día. El GPS por tanto tiene que tener en cuenta la teoría de la relatividad para hacer ajustes basándose en las velocidades de los relojes de los satélites y calcular correcciones matemáticas en los chips de computadora que resuelven la ubicación del usuario. Sin la aplicación adecuada de la relatividad, el GPS fallaría en sus funciones de navegación en solo minutos.

Entonces, la próxima vez que su avión se acerque a un aeropuerto con mal tiempo y te preguntes "¿para qué sirve la física básica?", piensa en Einstein y el rastreador GPS en la cabina que ayuda a los pilotos a poder realizar un aterrizaje seguro.

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lunes, 4 de mayo de 2015

Física: Misterios del Tiempo y Teoría de la Relatividad

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